导函数图像 6.7 直接画出导函数的图像

2018-10-09 - 导函数

假设你有一个函数的图像,但不知道它的方程,你想要画出其导函数的图像.在这里公式和法则帮不上你,取而代之的是,你需要对微分有一个很好的理解.

这里是基本思想. 将函数的图像想象成一座山, 并想象有一个小登山者在从左到右地爬上爬下. 在攀登的每一点上,登山者会大声地喊出他或她认为攀登有多么困难. 如果地形平坦, 登山者会大声喊出表示难度的数字 0.

导函数图像

如果地形呈现向上的斜坡,登山者会大声喊出一个正的数字;攀登越陡峭,数字越高. 如果地形呈现向下的斜坡, 那么攀登实际上很轻松, 因此, 难度是负的. 这就是说, 登山者会大声喊出一个负的数字. 向下的斜坡越多越轻松, 因此, 数字将会越来越负. (如果真的是一个陡峭的下坡,或许很难安全地向下爬行,但它确实会非常轻松地快速下降!)

导函数图像

重要的一点是:山的高度本身不重要.只有陡峭程度是关键.特别地,你可以将整个图像向上平移, 登山者还是会大声喊出相同的难度程度来. 其后果是, 如果你在从一个函数的图像画一个导函数的图像,该函数的 x轴截距是不重要的!

导函数图像

让我们来看一个例子:画出有点让人恐惧的函数的导函数的图像, 如图 6-5所示.

不要惊慌.在所有不同的点上画一个小登山者并想象登山者在每一点上大声喊出难度程度. 然后, 所有你要做的就是在另一套坐标上画出这些难度程度. 特别感兴趣的是,路径是平坦的点;这可以出现在一个长的平坦的区域中(如同上图中的x=5和 x = 6 之间), 或者在一个波峰的顶部 (如同在 x = ?5 或 x = 1) 或在一个低谷的底部 (如同在 x=?2 或 x=3).

导函数图像

那里你肯定是要画出登山者的. 这里是在一些位置上带有登山者的 f 的图像,如图 6-6所示.

现在, 让我们为导函数的图像来画一套坐标. y 轴标记为 \难度程度, " 范围从难下降到原点再下降到容易. 然后, 基于小登山者大声喊出的难度程度, 你应该能够用铅笔描出一些点来. 请记住,登山者并不关心山有多高,他只关心山有多陡峭!基于此,你得到以下的一些点,如图 6-7所示.

以下是对于我们如何得出结论的详细解释:

在 y = (x) 的图像的最左侧, 登山者开始只是缓缓地上坡. 因此, 我们将画出一些高度稍高于 0的一些点.

往前走, 走到 x = ?6, 登山者开始上坡, 因此, 难度上升, 故这些点变高了(更难了).

然后, 开始变得有点容易了, 直到当 x=?5 时, 登山者达到波峰的顶部, 那里是平坦的. 特别地,当 x=?5时,导函数有一个 x轴截距.

在 x = ?5 之后, 原始的曲线开始变成下坡, 首先是平缓地然后越来越陡峭. 这意味着, 攀登将变得越来轻松, 直到它变得非常轻松. 因此, 导函数在x=?4处有一条垂直渐近线.

在该渐近线的另外一侧, 攀登也很容易, 因为登山者将下坡, 开始非常陡峭,在x=?2处到达低谷. 因此,在导函数曲线上,垂直渐近线事实上始于?1(真的很容易) 并且在 x=?2 处爬升至 0. (在 x=?5 和 x=?4 之间有 x轴截距以及在 x = ?4 和 x = ?3 之间也有, 这都是无关紧要的. 原始函数的 x轴截距不重要.)

在 x=?2谷底之后,登山者必须上坡一会儿,因此攀登变困难了. 在 x=0之后变得有点容易了, 尽管这样, 他或她一直要走到 x = 1 山的顶部. 这意味着,导函数的曲线上升到 x=0,然后下降到一个在 x=1上的 x轴截距.

在走向 x=3 处的谷底的路上, 情况发生了逆转:攀登变得越来越容易, 直到 x=2,然后转为水平,但仍然是下坡. 因此,导函数的曲线下降,在 x=2处达到一个最小值,然后,上升到一个在 x=3上的 x轴截距.

从x=3处的谷底,攀登一直都很困难,直到x=4. 然而,在x=4和x=5之间, 攀登的难度是均匀的, 因为斜率是常数. 因此, 导函数的曲线从 x=3上升, 直到 x=4, 但然后在 x=4 和 x=5 之间, 它保持在同一高度 (难度程度).

在 x = 5, 斜率突然地改变了. 在没有任何警戒的情况下, 它突然变平坦了,然后保持这种平坦直到 x=6. 因此, 导函数的曲线必须下降至 0 并且保持在那里直到 x=6. 导函数在 x=5处有一个不连续点.

在 x = 6 之后, 登山者发现, 当曲线下降到 x = 7 处的垂直渐近线, 攀登越来越容易了. 导函数的曲线在那里也有一条垂直渐近线.

在这条垂直渐近线的右侧, 攀登极度困难, 但是, 当 x 走向 9 时, 攀登变得容易些了. 因此,导函数的曲线始于x=7的右侧非常高的地方,然后,当攀登越来越容易时,它就变得越来越低.

现在,只需要把这些点连起来!下面是y=f(x)和y=f0(x)的图像,如图6-8所示.

我们把使用的思想做一下总结:

当原始图像平坦时, 导函数的图像有一个 x 轴截距. 在上例中, 它们出现在x=?5, x=?2, x=1, x=3及区间 [5;6]的每一点上.

当原始图像的一部分是一条直线时, 导函数的图像是常数 (上例中, 它出现在区间 [4;5]上).

如果原始图像有一条水平渐近线, 其导函数图像经常也有一条水平渐近线,但如果是那样的话,它将在 y=0而不是渐近线的原始高度上 (正如上例中的左侧的那边).

原始图像中的垂直渐近线经常导致在相同位置上①的导函数的垂直渐近线,尽管方向可能会改变. 例如, 上例中, 在 x=7 处, 在渐近线的两侧, 原始的曲线都走向 ?1, 但是, 导函数却有相反的符号. 在 x = 4 处的垂直渐近线受到类似的影响.

如果有怀疑的话,就请使用可以信赖的登山者吧!

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